挪威的短命天才数学家阿贝尔(-)大概是数学史上第一个认真考虑如何求解一个积分方程的数学家。考虑到积分方程的完整理论大概是到了二十世纪初的时候才由VitoVolterra(3May–11October)提出，而且这些理论还是建立在泛函分析的基础上，所以阿贝尔的成就愈加显得引人注目。阿贝尔最著名的成就大概是在椭圆函数和代数上。代数上指的是阿贝尔第一个证明了一个一般的五次方程没有根式解。更具普适性的结果，就是五次及以上的方程没有根式解，要等到另一个短命天才数学家伽罗瓦去证明。这里不去探讨阿贝尔在椭圆函数和代数上的成就，而只回顾一下阿贝尔在积分方程方面的贡献。

假设一个初始速度为零的质点沿着一条光滑的曲线在重力场中下落。该质点在重力场中下落高度为h.如果曲线的形状已知，那么我们就可以用微积分的方法计算出质点沿着该曲线下降高度h所需的时间T(h).阿贝尔考虑的是这个问题的反问题：已知质点下降高度h所需的时间是T(h)，问如何确定这条曲线的形状？

积分方程很多时候就是为了求解反问题。例如，如果一个函数的傅里叶变换是已知的，如何去计算这个原函数？这就是一个反问题。后来的积分方程理论也是在计算反问题。积分方程通常都会有一个核函数。有很大一类积分方程的问题是，已经知道了一个函数跟核函数的卷积，如何求出这个函数。如果用现代数学的语言来描述，这就相当于已知一个算子作用在一个函数上的结果，如何求出这个原函数。答案就是求出这个核函数或者算子的逆，把这个逆作用在已知的结果上，就得到了那个原函数。这个思路跟线性代数解方程求逆矩阵很像，于是就可以把函数类比做矢量，核函数或者算子类比做矩阵，卷积类比做矩阵与矢量的乘法。这里只是一个粗糙的类比。这种类比一旦严格化(例如如何计算一个函数的长度，或者叫范数，如何计算一个算子的逆，如何定义两个函数的夹角，如何计算函数的投影，如何对函数做正交基展开，如何保证求积分的时候不发散),泛函分析就出现了。

说了一些题外话，这里重新回到阿贝尔的问题。为了求解这个问题，首先我们要把问题数学化。为此，我们首先要建立一个坐标系。假设这条曲线没有kink，也就是对于任意一个纵坐标y，我们有唯一的一个横坐标x.于是这条未知的曲线就可以用一个方程来描述为:x=f(y)

我们要计算质点沿着这条曲线下降高度h所需时间。取质点最终的高度为零，于是初始时刻质点的纵坐标为,最终质点的纵坐标为.期间任意时刻质点的纵坐标为.根据能量守恒定律，质点的纵坐标为y时它的速率为.

根据速率的定义(注意，因为质点一直在下落)

,

所以可以得到时间微分为

于是质点沿着曲线x=f(y)从高度为h降到高度为零所需的总时间为

.

这是一个关于未知曲线x=f(y)的积分方程。为了方便，可以定义一个函数

于是阿贝尔积分方程可以写作

这显然是拉普拉斯变换的卷积。可以将理解为积分方程的核函数或者算子，核函数与未知函数的卷积理解为算子与矢量的乘法。为了求解这个方程，我们需要做拉普拉斯变换:

已知幂函数的拉普拉斯变换为，于是有或者

这里相当于是对函数求了次微分。所以阿贝尔积分方程跟非整数阶微积分有着密切的联系。

例子：等时曲线

如果质点的下落时间不依赖于下落高度，那么该曲线就是等时曲线。令.该函数的拉普拉斯变换为.于是.求逆变换得到

根据定义，，

所以.

因为，同时可以规定,也就是规定质点向右下滑落，那么可以得到

解得

这是一条摆线.

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